Voltar à página principalO programa da disciplina de Análise de Estruturas I visa o cumprimento dos objectivos anteriormente enunciados, estando estruturado do seguinte modo:
1. Introdução ao curso;
2. Introdução à Análise de Lajes;
3. Análise de Estruturas Reticuladas pelo Método das Forças;
4. Análise de Estruturas Reticuladas pelo Método dos Deslocamentos;
5. Modelação de lajes com elementos de grelha.
A introdução à disciplina incide sobre a identificação do papel da análise de estruturas no contexto do projecto de estruturas. Caracteriza-se o projecto de estruturas como uma sequência de procedimentos, destacando-se as fases de concepção, modelação, dimensionamento, análise e verificação da segurança. Especial ênfase é dada à definição dos principais objectivos da análise de estruturas, bem como dos diferentes modelos de análise a adoptar em função da geometria, do tipo de solicitações e do comportamento do material estrutural.
O problema fundamental da análise de estruturas é definido como a determinação do conjunto de parâmetros que caracterizam a resposta das estruturas, tendo como base o conhecimento das suas características geométricas e mecânicas, das condições de apoio e do conjunto de acções a que está sujeita. Neste contexto, são identificadas as principais condições a ter em conta na determinação da resposta das estruturas, nomeadamente as condições de equilíbrio e compatibilidade e as relações constitutivas. Utiliza-se para tal o modelo de viga que, em contraponto ao modelo geral da Teoria da Elasticidade, servirá de apoio directo à introdução ao estudo das lajes finas.
As lajes são definidas como estruturas laminares que, como as placas e as cascas, apresentam segundo uma direcção uma dimensão muito inferior à das outras duas. Sublinham-se as vantagens de substituir as equações gerais da Teoria da Elasticidade por um modelo de comportamento bidimensional, mais simples, que explore convenientemente a peculiaridade geométrica e as condições de carga deste tipo de sistema estrutural.
A introdução ao estudo das lajes restringir-se-á ao caso das lajes finas, em que se despreza a deformação por esforço transverso. São apresentadas e discutidas as hipóteses fundamentais da teoria elástica linear de lajes de Kirchhoff, começando pelas relações extensões-deslocamentos. Estas relações são utilizadas para mostrar como se pode bidimensionalizar o problema recorrendo aos conceitos de rotação e de curvatura. As medidas de deformação assim introduzidas são utilizadas para estabelecer as definições dos esforços, as quais são utilizadas para reformular as equações de equilíbrio bidimensional e, posteriormente, estabelecer as relações de elasticidade para as lajes. As condições de fronteira da Teoria da Elasticidade são igualmente adaptadas ao modelo de laje e expressas e interpretadas em termos dos parâmetros seleccionados para representar o comportamento das lajes finas.
Reunindo as equações fundamentais obtém-se a equação de Lagrange que rege o comportamento dos elementos de laje fina. Discute-se a identificação e a obtenção de soluções exactas, soluções equilibradas e soluções compatíveis. Apresentam-se soluções analíticas exactas para alguns casos mais simples. Mostra-se que para condições de fronteira ou para geometrias mais complexas se torna necessário recorrer a outros métodos de análise, nomeadamente os que se baseiam na expansão em séries de Fourier, nas diferenças finitas e nos elementos finitos, aos quais se faz uma breve referência.
O estudo do método das forças para a análise de estruturas reticuladas é precedido pela reformulação matricial da teoria das vigas e da análise de estruturas isostáticas.
Relativamente ao elemento de barra, começa-se por mostrar as vantagens de se poder caracterizar o seu comportamento recorrendo a variáveis discretas, que virão a ser apresentadas como esforços e deformações independentes, em detrimento de variáveis contínuas, designadamente diagramas de esforços e deformadas. Esta abordagem é idêntica à adoptada no método dos elementos finitos, o qual não é, no entanto, referido nesta fase do curso. O comportamento do elemento é quantificado a partir da escolha de parâmetros de esforço e deformação, com um significado físico claro, recorrendo aos métodos de cálculo de vigas simplesmente apoiadas leccionados nas disciplinas de Resistência dos Materiais.
Com base na hipótese dos pequenos deslocamentos, são estabelecidas as relações de equilíbrio para um elemento de barra recto em função dos esforços de extremidade e da acção de vão. A partir destas condições é introduzido o conceito de esforços independentes, como o conjunto de variáveis discretas que permitem quantificar os esforços instalados no elemento de barra. Os esforços internos são explicitados em função da acção de vão e dos esforços independentes.
Analogamente, a deformada de um elemento de barra recto é analisada a partir da decomposição do campo de deslocamentos em duas parcelas, uma associada ao deslocamento de corpo rígido e outra associada à deformação da barra. O conceito de deformação independente é introduzido como forma de quantificação da parcela de deformação da barra, medida em relação à corda. Verifica-se que os esforços e deformações independentes escolhidos são energeticamente equivalentes às distribuições de esforços e deformações que representam. Tendo em conta as definições apresentadas para os esforços e para as deformações independentes, estabelece-se a relação constitutiva do elemento de barra recto de secção constante recorrendo às relações de elasticidade.
Especial ênfase é dada às condições de validade das definições obtidas, sendo exemplificada a forma de modelar outros tipos de elemento de barra, como por exemplo a consideração de peças rectas de secção variável. Simultaneamente, são clarificados os conhecimentos já adquiridos em termos de condições de equilíbrio e de compatibilidade, bem como relembrados os conceitos referentes ao comportamento elástico e linear associado à flexão de peças lineares.
Aborda-se, em seguida, a formulação matricial da análise de estrutura isostáticas, sendo estabelecida a equação matricial de equilíbrio que relaciona os esforços independentes com as cargas aplicadas. Para a mesma estrutura é formulada matricialmente a equação de compatibilidade, relacionando os deslocamentos associados às cargas aplicadas com as deformações independentes.
Com base neste exemplo, estabelece-se a relação de dualidade estática-cinemática e demonstra-se a sua equivalência aos teoremas das forças e dos deslocamentos virtuais. Esta relação é utilizada para estabelecer a formulação matricial do cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas.
Aborda-se, depois, a generalização do método para a resolução de estruturas hiperestáticas, o que obriga à recapitulação dos conceitos e do cálculo da hiperestatia exterior, interior e global de estruturas reticuladas. Esta recapitulação é enriquecida com estudo das vantagens da exploração das simplificações de simetria e anti-simetria, e da sua correcta representação e utilização.
Com base na análise de uma estrutura com grau de hiperestatia a, é introduzido o conceito de sistema base como a estrutura estaticamente determinada resultante da libertação de a ligações linearmente independentes na estrutura original. A partir da definição do sistema-base é introduzido o conceito de incógnita hiperestática.
Prossegue-se com o estudo separado da acção das incógnitas hiperestáticas e do carregamento dado. Estabelecem-se as respectivas matrizes de equilíbrio, agrupando os esforços independentes resultantes da acção das incógnitas hiperestáticas e das cargas dadas, e exprimem-se os deslocamentos correspondentes em função das deformações independentes recorrendo à relação de dualidade.
Recorrendo às relações de elasticidade entre as deformações independentes e os esforços independentes, exprimem-se os deslocamentos correspondentes às forças hiperestáticas em função dessas forças e do carregamento dado. Mostra-se que essa equação de compatibilidade serve para definir quais devem ser as forças hiperestáticas a aplicar na estrutura-base para que essa estrutura tenha o mesmo comportamento, isto é seja estática e cinematicamente equivalente à estrutura hiperestática em estudo. Interpreta-se e representa-se cada um dos coeficientes do sistema resolutivo assim obtido, os deslocamentos devidos às forças hiperestáticas, agrupados na matriz de flexibilidade, e os deslocamentos devidos ao carregamento, agrupados no vector das descontinuidades.
O exemplo de introdução ao método das forças é ainda utilizado para demonstrar o cálculo dos esforços na estrutura hiperestática, assim como das reacções de apoio e dos deslocamentos. Com base nos resultados obtidos, generaliza-se a formulação da equação do método das forças, assim como a sua interpretação, e estabelece-se o procedimento geral para a análise matricial de estruturas reticuladas pelo método das forças.
Diferentes problemas são analisados com vista a uma completa apreensão de como diferentes tipos de acções são tidos em conta no método das forças. Consideram-se, nomeadamente, problemas envolvendo forças aplicadas no vão das barras, variações de temperatura, assentamentos de apoio e pré-esforço. Aborda-se ainda a possibilidade de considerar elementos de barra indeformáveis ou com variação de propriedades mecânicas ao longo do vão, salientando-se quais as principais alterações a introduzir na aplicação deste método.
A abordagem ao método dos deslocamentos é feita a partir da determinação da relação entre deslocamentos e forças nodais para elementos de barra com diversas condições de apoio, designadamente a barra biencastrada, encastrada-apoiada, encastrada com libertação de esforço transverso e biarticulada.
O conceito de estrutura-base é introduzido como a estrutura cinematicamente determinada obtida por meio da restrição dos deslocamentos nodais que a transformam na combinação de elementos de barra anteriormente definidos. O número de restrições necessário é identificado como grau de indeterminação cinemática, b, sendo os deslocamentos bloqueados designados como deslocamentos independentes.
Uma abordagem semelhante à utilizada para o método das forças permite introduzir os conceitos de parcela particular e parcela complementar da solução do problema em análise. A parcela particular é definida como a solução obtida para a estrutura-base quando se considera a actuação das acções. A parcela complementar corresponde à solução obtida para a imposição em separado de cada um dos b deslocamentos independentes.
A equação do método dos deslocamentos é apresentada como a equação de equilíbrio nodal que, a partir da sobreposição das parcelas particular e complementar, permite repor o equilíbrio da estrutura em análise. Interpreta-se e representa-se cada um dos coeficientes do sistema resolutivo assim obtido, as forças devidas aos deslocamentos nodais, agrupadas na matriz de rigidez, e as forças devidas ao carregamento, agrupadas nos vectores das forças nodais aplicadas e de fixação.
O exemplo de introdução ao método dos deslocamentos é utilizado para demonstrar o cálculo de deslocamentos, esforços e reacções de apoio na estrutura. Posteriormente, generaliza-se a formulação da equação do método, assim como a sua interpretação, e estabelece-se o procedimento geral para a análise matricial de estruturas reticuladas pelo método dos deslocamentos. Analisa-se, depois, a simulação de acções especiais, tais como assentamentos de apoio, variações de temperatura e pré-esforço. Aborda-se, ainda, a possibilidade de considerar elementos de barra indeformáveis ou com variação de propriedades mecânicas ao longo do vão, salientando-se quais as principais alterações a introduzir na aplicação deste método.
Para além de se sistematizar a identificação dos deslocamentos independentes, apresenta-se uma reinterpretação energética da equação do método dos deslocamentos, para generalizar os conceitos envolvidos e facilitar a modelação de estruturas com peças rígidas.
A formulação do método dos deslocamentos é adaptada para a análise de grelhas. Depois de caracterizar este tipo de estrutura e de identificar os esforços e os modos de deformação, estabelece-se uma analogia com o comportamento das lajes.
Esta analogia é utilizada para formular a modelação de lajes através de elementos de grelha, uma técnica utilizada correntemente para a análise de lajes com geometria e/ou condições de fronteira mais complexas, quando não se dispõe de um programa de elementos finitos de laje ou não se justifica a sua utilização.
A consolidação dos conceitos e formulações introduzidos só pode ser conseguida com a análise de estruturas de complexidade e/ou número de graus de liberdade superior, sendo para isso indispensável o recurso à utilização de programas de cálculo automático.
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